内容

下面认为1是合数。因为“合数”比“非素数”好听多了。

为了直观,我们把正整数列成一排。下面有一条线,这条线的长度刚好够框住1000个正整数(认为每个数都占据同样大小的位置)。这条线可以左右滑动,图中它在最左端,它可以一直往右滑。

[1 2 3 4 … 999 1000] 1001 …

在现在的位置,横线上有许多个素数(显然超过5个)和更多个合数。我们需要证明的就是,它从这里一直往右滑,总有一天会滑到这样一个位置,这条横线上有5个素数和995个合数。

这条横线每向右滑一步,会吐出一个数并吞入一个数。可能的情况有四种:

  1. 吐出一个素数,吞入一个素数,横线上的素数个数没有变化。
  2. 吐出一个素数,吞入一个合数,横线上少了1个素数。
  3. 吐出一个合数,吞入一个素数,横线上多了1个素数。
  4. 吐出一个合数,吞入一个合数,横线上的素数个数没有变化。

总之,横线滑动过程中,上面的素数的个数只会一个一个地变化,不会从4个跳到6个,也不会从6个跳到4个。

而横线将会到达这样一个位置,横线画住这1000个数:

1001!+1 1001!+2 1001!+3 … 1001!+1001

因为1001! = 1 * 2 * 3 * ... * 1001 是2 - 1001 中每一个数的倍数,所以1001! + 2也是2的倍数,依次递推;所以,这1000个数全是合数。在这里,横线上素数的个数是0

在从开始滑到这里的过程中,横线上素数的个数从“许多”(超过5个)变化到了0。而这种变化是一个一个的,不会跳过任何一个数。

所以,在这之间存在一个位置,横线上恰好有5个素数。

参考链接

如何证明存在 1000 个连续的正整数中恰好有五个素数?