239. 滑动窗口最大值

单调队列

由于我们需要求出的是滑动窗口的最大值,如果当前的滑动窗口中有两个下标 i 和 j,其中 i 在 j 的左侧(i < j),并且 i 对应的元素不大于 j 对应的元素(nums[i]≤nums[j]),那么会发生什么呢?

当滑动窗口向右移动时,只要 i 还在窗口中,那么 j 一定也还在窗口中,这是 i 在 j 的左侧所保证的。因此,由于 nums[j] 的存在,nums[i] 一定不会是滑动窗口中的最大值了,我们可以将 nums[i] 永久地移除。

因此我们可以使用一个队列存储所有还没有被移除的下标。在队列中,这些下标按照从小到大的顺序被存储,并且它们在数组 nums 中对应的值是严格单调递减的。因为如果队列中有两个相邻的下标,它们对应的值相等或者递增,那么令前者为 i,后者为 j,就对应了上面所说的情况,即 nums[i] 会被移除,这就产生了矛盾。

当滑动窗口向右移动时,我们需要把一个新的元素放入队列中。为了保持队列的性质,我们会不断地将新的元素与队尾的元素相比较,如果前者大于等于后者,那么队尾的元素就可以被永久地移除,我们将其弹出队列。我们需要不断地进行此项操作,直到队列为空或者新的元素小于队尾的元素。

由于队列中下标对应的元素是严格单调递减的,因此此时队首下标对应的元素就是滑动窗口中的最大值。但与方法一中相同的是,此时的最大值可能在滑动窗口左边界的左侧,并且随着窗口向右移动,它永远不可能出现在滑动窗口中了。因此我们还需要不断从队首弹出元素,直到队首元素在窗口中为止。

为了可以同时弹出队首和队尾的元素,我们需要使用双端队列。满足这种单调性的双端队列一般称作「单调队列」。

var maxSlidingWindow = function(nums, k) {
    const n = nums.length;
    const q = [];
    for (let i = 0; i < k; i++) {
        while (q.length && nums[i] >= nums[q[q.length - 1]]) {
            q.pop();
        }
        q.push(i);
    }

    const ans = [nums[q[0]]];
    for (let i = k; i < n; i++) {
        while (q.length && nums[i] >= nums[q[q.length - 1]]) {
            q.pop();
        }
        q.push(i);
        while (q[0] <= i - k) {
            q.shift();
        }
        ans.push(nums[q[0]]);
    }
    return ans;
};

分块 + 预处理

我们可以将数组 nums 从左到右按照 k 个一组进行分组,最后一组中元素的数量可能会不足 k 个。如果我们希望求出 nums[i] 到 nums[i+k−1] 的最大值,就会有两种情况:

  • 如果 i 是 k 的倍数,那么 nums[i] 到 nums[i+k−1] 恰好是一个分组。我们只要预处理出每个分组中的最大值,即可得到答案;
  • 如果 i 不是 k 的倍数,那么 nums[i] 到 nums[i+k−1] 会跨越两个分组,占有第一个分组的后缀以及第二个分组的前缀。假设 j 是 k 的倍数,并且满足 i < j ≤i+k−1,那么 nums[i] 到 nums[j−1] 就是第一个分组的后缀,nums[j] 到 nums[i+k−1] 就是第二个分组的前缀。如果我们能够预处理出每个分组中的前缀最大值以及后缀最大值,同样可以在 O(1) 的时间得到答案。

因此我们用 prefixMax[i] 表示下标 i 对应的分组中,以 i 结尾的前缀最大值;suffixMax[i] 表示下标 i 对应的分组中,以 i 开始的后缀最大值。它们分别满足如下的递推式:

  • 当 i 是 k 的倍数时:prefixMax[i] = nums[i]
  • 当 i 不是 k 的倍数时:prefixMax[i] = max(prefixMax[i - 1], nuts[i])

以及:

  • 当 i + 1 是 k 的倍数时:suffixMax[i] = nums[i]
  • 当 i + 1 不是 k 的倍数时:suffixMax[i] = max(suffixMax[i + 1], nuts[i])

需要注意在递推 suffixMax[i] 时需要考虑到边界条件 suffixMax[n−1]=nums[n−1],而在递推 prefixMax[i] 时的边界条件 prefixMax[0]=nums[0] 恰好包含在递推式的第一种情况中,因此无需特殊考虑。

在预处理完成之后,对于 nums[i] 到 nums[i+k−1] 的所有元素,如果 i 不是 k 的倍数,那么窗口中的最大值为 suffixMax[i] 与 prefixMax[i+k−1] 中的较大值;如果 i 是 k 的倍数,那么此时窗口恰好对应一整个分组,suffixMax[i] 和 prefixMax[i+k−1] 都等于分组中的最大值,因此无论窗口属于哪一种情况,

max{suffixMax[i],prefixMax[i+k−1]}

即为答案。

var maxSlidingWindow = function(nums, k) {
    const n = nums.length;
    const prefixMax = new Array(n).fill(0);
    const suffixMax = new Array(n).fill(0);
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        if (i % k === 0) {
            prefixMax[i] = nums[i];
        } else {
            prefixMax[i] = Math.max(prefixMax[i - 1], nums[i]);
        }
    }
    for (let i = n - 1; i >= 0; --i) {
        if (i === n || (i + 1) % k === 0) {
            suffixMax[i] = nums[i];
        } else {
            suffixMax[i] = Math.max(suffixMax[i + 1], nums[i]);
        }
    }
    const ans = [];
    for (let i = 0; i < n - k + 1; i++) {
        ans.push(Math.max(suffixMax[i], prefixMax[i + k - 1]));
    }
    return ans;
};